Tauber Theorem

#Tauber Theorem

0을 기준으로 하는 멱급수 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ 가 수렴하는 $x=x_0(\not=0)$가 존재한다고 하자. 어떤 $N$에 대하여 $n \ge N \rightarrow |a_n x_0^n| <1$이어야 한다. 이 때, $ |x| < x_0 $인 임의의 $x$에 대해서 $$\sum_{n=N}^\infty |a_n x^n|<\sum_{n=N}^\infty |a_n x_0^n| \left| \frac{x}{x_0} \right|^n < \sum_{n=N}^\infty \left| \frac{x}{x_0} \right|^n $$ 을 얻을 수 있다. 이제 멱급수는 0이 아닌한 점에서 수렴하면 이 멱급수는 0을 포함하는 어떤 구간에서 절대수렴한다고 말할 수 있다. 더 나아가 적당한 등비급수보다 작다. 이 적당한(?) 등비급수가 비교의 유용한 기준이 된다. 이를 명심하고 다음의 문제들을 해결하라.
열린구간 $(-a, a)$에서 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0$이면 임의의 $n$에 대해 $a_n = 0$임을 보여라.
함수 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$가 연속임을 보여라. 미분가능함을 보이는 것은 덤으로 얻어질 것이다.
$$s_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$$ $$\sigma_n = \frac{s_0 + s_1 + \cdots + s_n}{n+1}$$ 이 때, $\sigma_n$을 Cesaro means라고 한다.
Frobenius' Theorem
If $\sigma_n \rightarrow \sigma$ as $n\rightarrow\infty$, then the power series $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ converges for $|x|<1$ and $f(x)\rightarrow \sigma$ as $x\rightarrow 1-$.
[proof] 다음 등식 $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n = (1-x)\sum_{n=0}^\infty s_nx^n = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)\sigma_n x^n $$ 을 잘 관찰하라. 어떤 이들은 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 수렴한다는 사실을 언제 보였느냐고 질문할지도 모르겠다. 등식의 마지막 항부터 거슬러 처음으로 가면서 수렴한다는 사실을 확인해 보기를 바란다. 다음 등식 $$ 1 = (1-x)^2 \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n $$ 을 이용하자. $0< x <1$ 로 제한하고 $n \ge N \rightarrow |\sigma_n - \sigma| < \varepsilon$을 만족하는 $N$을 이용하여 $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n - \sigma = (1-x)^2\left{\sum_{n=0}^\infty (n+1)(\sigma_n - \sigma) x^n \right}$$ $$\le (1-x)^2 \left{\sum_{n=0}^N (n+1)|\sigma_n-\sigma|x^n +\sum_{n=N+1}^\infty(n+1)|\sigma_n - \sigma| x^n\right}$$ $$\le (1-x)^2\sum_{n=0}^N (n+1)|\sigma_n -\sigma| + \varepsilon$$ 을 얻는다. 이제 $x\rightarrow 1-$이면 원하는 결과를 얻을 수 있다.
Tauber's First Theorem
Suppose $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n = 0$, so that $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$ converges(why?) in the interval $(-1, 1)$. If $\lim_{x\rightarrow1-}f(x) = L$, then $$\sum_{n=0}^\infty a_n = L. $$
[proof] $s_n$은 앞에서 정의한 것으로 한다. $$s_n - f(x) = \sum_{k=1}^n a_k(1-x^k) - \sum_{k=n+1}^\infty a_k x^k. $$ 이 식에 늘 사용되는 $$1-x^k = (1-x)(1+x+x^2 + \cdots + x^{k-1}) \le k(1-x) \qquad x \in (0, 1) $$ 을 적용하면 $$ |s_n - f(x) | \le (1-x)\sum_{k=1}^n k|a_k| + \sum_{k=n+1}^\infty |a_k|x^k. $$ 을 얻는다. 주어진 가정 $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n = 0$으로 부터 충분히 큰 $n$에 대해 $\forall k > n, k|a_k| < \varepsilon$ 을 만족한다. 이로부터 $$\sum_{k=n+1}^\infty |a_k|x^k < \varepsilon \sum_{k=n+1}^\infty \frac1k x^k < \frac{\varepsilon}n \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{\varepsilon}{n(1-x)}.$$ 를 얻는다. 이제 $x_n = 1 - \frac1n$를 이 식에 대입하면 $$|s_n-f(x_n)| \le \frac1n \sum_{k=1}^n k|a_k| + \varepsilon$$ 이 성립함을 안다. 주어진 조건에서 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n \sum_{k=1}^n k|a_k| = 0$$ 를 이끌어 낼 수 있으므로(why?) $$|s_n - L| \le |s_n - f(x_n)| + |f(x_n) - L|$$ 에서 원하는 결과를 얻는다.